Question

【题目】（阅读）如图①，是等边三角形，将直角三角板的角顶点放在边上（点不与点、重合），使两边分别交边、于点、．进而可证：．

小明的做法是，先证，再证，可证得∽．

（探究）如图②，将等边三角形沿折痕折叠，使点的对称点落在边上（点不与点、重合），求证：∽．

（应用）若图②中的，，直接写出的值．

Answer 1

【答案】【探究】证明见解析；【应用】．

【解析】

【探究】

由折叠的性质可知∠MDN=∠C=60°，然后根据平角的定义和三角形的内角和定理可得∠AMD=∠BDN，再根据等边三角形的性质和相似三角形的判定方法即可证得结论；

【应用】

设CM=MD=x，CN=DN=y，则有AM=3－x，BN=3－y，然后利用相似三角形的性质可得关于x、y的方程组，解方程组即可求出x、y的值，问题即得解决．

解：【探究】∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∵将等边△沿折痕折叠，点的对称点落在边上，

∴∠MDN=∠C=60°，

∴∠ADM+∠BDN=120°，

∵∠ADM+∠AMD=180°－∠A=180°－60°=120°，

∴∠AMD=∠BDN，

∴∽；

【应用】∵将等边△沿折痕折叠，点的对称点落在边上，

∴CM=MD，CN=DN，

设CM=MD=x，CN=DN=y，

∵AB=AC=BC=3，AD=1，

∴AM=3－x，BN=3－y，BD=2，

∵∽，

∴，

即，解得：，，

∴．