Question

【题目】如图1，矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．

（1）若点是半圆上一点，则点到的最小距离为________；

（2）如图2，保持矩形固定不动，将半圆绕点顺时针旋转度，得到半圆，则当半圆与相切时，求旋转角的度数；

（3）在旋转过程中，当与边有交点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）过点作的垂线，交于点，交于点，时即为点到的最小距离．推出四边形是矩形，即可求出点到的最小距离；

（2）设半圆与相切于点，连接，延长、交于点，证明，解得，根据中，，，即可求出旋转角的度数；

（3）分别求出当点在上时和当与边相切时的的值，即可求出的取值范围．

(1)如图1，过点作的垂线，交于点，交于点，

此时即为点到的最小距离．

∵四边形是矩形，点在上，且，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴．

故答案为：1.

（2）如图2，设半圆与相切于点，连接，延长、交于点，

∴于点，，

∵，

∴，

∴，

∴，即，解得，

在中，，，

∴，

∴，即；

（3）当点在上时，如图3，

∵，是半圆的直径，

∴点在上，

∵在中，，， ，

∴由勾股定理得，

∴，

又∵当与边相切时，，

∴此时，

∴当与边有交点时，．