Question

4．如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm²）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则下列结论：
①AB=BC=2cm；②cos∠CDA=$\frac{1}{2}$；③梯形ABCD的面积为4$\sqrt{3}$cm²；④点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2$\sqrt{3}$）秒；
其中正确的结论是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解．

解答 解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm．故①正确．
如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，AE=ABcos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，
∴$\frac{1}{2}$×AD×BE=3$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$×AD×$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
解得AD=6cm，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•BE=$\frac{1}{2}$×（6+2）×$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$（cm²）；故③正确；
∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{C{F}^{2}+D{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠CDA=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{3}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故②错误；
∴动点P运动的总路程为：AB+BC+CD=2+2+2$\sqrt{3}$=4+2$\sqrt{3}$，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2$\sqrt{3}$）÷1=4+2$\sqrt{3}$（秒）．故④正确；
故选C．

点评 本题综合考察了动点问题、一次函数图象、锐角三角函数、分段函数和梯形性质等知识，把图象的过程和几何的动点运动过程相结合，化动为静，从而解决问题，本题考察知识点全面，难度适中．