Question

如图，在△ABC中，AD是高．
（1）若AB=17，AC=10，BC=21，求AD．
（2）若E、F分别是AB、AC的中点，试说明EF垂直平分AD．

Answer 1

考点：勾股定理,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：计算题

分析：（1）由AD为高，得到三角形ABD与三角形ACD都为直角三角形，利用勾股定理分别表示出AD²，设BD=x，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到AD的长；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AE=DE，AF=DF，以及EF为公共边，利用SSS得到三角形AEF与三角形EFD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠AEF=∠DEF，再由AE=DE，即可得证．

解答： 解：（1）∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴根据勾股定理得：AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，
设BD=x，则有17²-x²=10²-（21-x）²，
解得：x=15，
则AD=

172-152

=8；
（2）∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴AE=DE，AF=DF，
在△AEF和△DEF中，

AE=DE EF=EF AF=DF

，
∴△AEF≌△DEF（SSS），
∴∠AEF=∠DEF，
∵AE=DE，
∴EF垂直平分AD．

点评：此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．