Question

19．已知关于x的方程x²+（2m-1）x+m²=0有实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为1，求m的值；
（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α²+β²-αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（2m-1）²-4m²≥0，然后解不等式即可；
（2）把x=1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；
（3）根据根与系数的关系得到α+β=-（2m-1），αβ=m²，利用α²+β²-αβ=6得到（α+β）²-3αβ=6，则（2m-1）²-3m²=6，然后解方程后利用（1）中m的范围确定m的值．

解答 解：（1）根据题意得△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得m≤$\frac{1}{4}$；
（2）把x=1代入方程得1+2m-1+m²=0，
解得m₁=0，m₂=-2，
即m的值为0或-2；
（3）存在．
根据题意得α+β=-（2m-1），αβ=m²，
∵α²+β²-αβ=6，
∴（α+β）²-3αβ=6，
即（2m-1）²-3m²=6，
整理得m²-4m-5=0，解得m₁=5，m₂=-1，
∵m≤$\frac{1}{4}$；
∴m的值为-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，反过来也成立．也考查了根的判别式．