Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，过A、B、C 作⊙P．
（1）求b、c的值；
（2）求证：①线段AB是⊙P的直径；②直线CD是⊙P的切线；
（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）待定系数法即可求得；
（2）根据（1）求得抛物线的解析式，求得C的坐标，根据勾股定理的逆定理即可判定∠ACB=90°，从而确定AB为直径；连接PC，根据P、C的坐标求得直线PC的解析式，根据C、D的坐标求得直线CD的解析式，根据它们的斜率即可判断PC⊥CD，从而证明线CD是⊙P的切线；
（3）存在，分两种情况考虑讨论求得；

解答：解：（1）∵抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过点A（4，0）、B（-1，0），
∴

0=- 1 2 ×16+4b+c 0=- 1 2 ×1-b+c

，解得：

b= 3 2 c=2

；

（2）由（1）可知抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，C（0，2），
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴BC²=OB²+OC²=1+4=5，AC²=OA²+OC²=16+4=20，AB²=25，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴线段AB是⊙P的直径；
连接PC，
∵A（4，0）、B（-1，0），
∴P（

3

2

，0），
设直线PC的解析式为：y=kx+b，则

0= 3 2 k+b 2=c

，解得：

k=- 4 3 b=2

，
∴直线PC的解析式为y=-

4

3

x+2，
∵抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，
∴D（

3

2

，

25

8

），
设直线DC的解析式为：y=k₁x+d，
则

25 8 = 3 2 k+d 2=d

，解得

k1= 3 4 d=2

，
∴直线DC的解析式为y=

3

4

x+2，
∵k•k₁=-

4

3

×

3

4

=-1，
∴PC⊥DC，
∴线CD是⊙P的切线；

（3）存在，分两种情况考虑：
①当点M在x轴上方时，如答图1所示：

四边形ACMN为平行四边形，CM∥AN，CM=AN，
由对称性得到M（3，2），即CM=3，故AN=3，
∴N₁（1，0），N₂（7，0）；
②当点M在x轴下方时，如答图2所示：

过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ACO≌△NMP，
∴MP=CQ=2，NP=AO=4，
将y=-2代入抛物线解析式得：-2=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
解得：x=

3+ 41

2

3或x=

3- 41

2

，
∴N₃（-4+

3- 41

2

，0），N₄（

3+ 41

2

-4，0）．
即N₃（

-5- 41

2

，0），N₄（

-5+ 41

2

，0）
综上所述，满足条件的点N有四个：N₁（1，0），N₂（7，0），N₃（

-5- 41

2

，0），N₄（

-5+ 41

2

，0）；

点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定抛物线解析式，一次函数与二次函数的交点，平行四边形的性质，圆周角的性质，圆的切线的判定以及坐标与图形性质，是一道多知识点的探究型试题．