Question

11．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH，
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）当四边形EFGH的面积为50cm²时，求tan∠FEB的值；
（3）求四边形EFGH面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；
（2）设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，得出BF，即可得出结果；
（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AH=BE=CF=DG，
在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF=CG=DH}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AH=BE=CF=DG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），
∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠BEF+∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH是正方形；
（2）解：∵四边形EFGH的面积为50cm²，
∴EF²=50cm²，
设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，
由勾股定理得：BE²+BF²=EF²，即x²+（8-x）²=50，
解得：x=1，或x=7，
即BE=1cm，或BE=7cm，
当BE=1cm时，BF=7cm，tan∠FEB=$\frac{BE}{BF}$=$\frac{1}{7}$；
当BE=7cm时，BF=1cm，tan∠FEB=$\frac{BE}{BF}$=7；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，
根据勾股定理得：EF²=BE²+BF²=x²+（8-x）²，
∴S=x²+（8-x）²=2（x-4）²+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值=32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm²．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果．