Question

6．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2，ab=$\frac{3}{4}$，求a-b；
（3）根据（1）中的结论，直接写出x+$\frac{1}{x}$和x-$\frac{1}{x}$之间的关系；若x²-3x+1=0，分别求出x+$\frac{1}{x}$和（x-$\frac{1}{x}$）²的值．

Answer 1

分析 （1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；
（2）根据完全平方公式解答；
（3）根据完全平分公式解答．

解答 解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）²-（a-b）²，
得到等式：4ab=（a+b）²-（a-b）²，
说明：（a+b）²-（a-b）²=a²+2ab+b²-（a²-2ab+b²）=a²+2ab+b²-a²+2ab-b²=4ab．
（2）（a-b）²=（a+b）²-4ab=${2}^{2}-4×\frac{3}{4}$=4-3=1，
∴a-b=±1．
（3）根据（1）中的结论，可得：$（x-\frac{1}{x}）^{2}=（x+\frac{1}{x}）^{2}-4$，
∵x²-3x+1=0，
方程两边都除以x得：$x-3+\frac{1}{x}=0$，
∴$x+\frac{1}{x}=3$，
∴$（x-\frac{1}{x}）^{2}=（x+\frac{1}{x}）^{2}-4={3}^{2}-4=5$．

点评 本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．