题目内容
14．在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动（1）如图①，当点E自D向C，点F自向C向B移动时，连结AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的关系；
（2）如图②③，当E、F分别在直线CD，BC上移动时，连结AE和DF，请你写出AE与DF的关系，并说明理由；
（3）如图④，当E、F分别在直线DC，CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路线的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值．
分析 （1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）AE=DF，AE⊥DF．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．
解答 解：（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADC=∠C}\\{DE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；
（2）图②，AE=DF，AE⊥DF．
同（1）证明△ADE≌△DCF，
∴AE=DF，AE⊥DF．
图③，AE=DF，AE⊥DF．
理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF
延长FD交AE于点G，
则∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；
（3）如图④
由于点P在运动中保持∠APD=90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
在Rt△QDC中，QC=$\sqrt{C{D}^{2}+Q{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CP=QC-QP=$\sqrt{5}$-1．
点评 本题考查的是四边形的综合应用题，能够从运动的观点分析问题、解决问题是解题的关键，注意全等三角形的判定和性质的应用、直径所对的圆周角是直角．
轻松暑假总复习系列答案
如图一只封闭的圆柱形水桶（桶的厚度忽略不计），底面直径为20cm，母线长为40cm，盛了半桶水，现将该水桶水平放置后如图所示，则水所形成的几何体的表面积为（ ）| A． | 800cm2 | B． | （800+400π）cm2 | C． | （800+500π）cm2 | D． | （1600+1200π）cm2 |
选作题（请从以下两个小题中任选一题作答，若多选，则按所选的第一题计分．）
如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（2，4），直线y=-2x+6交AB、BC分别于点M、N，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点M．
用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
如图，已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，连接AE、CG．请猜想AE与CG有什么数量关系？并证明你的猜想．