Question

13．如图，为了防洪，某地区计划将长为1000m的一堤面加宽1.5m，背水坡坡度由原来1：1改为1：2，已知原背水坡坡长AD=8.0m，求完成这一工程所需的土方．（精确到1m³，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 过点D、E向下底引垂线，得到两个直角三角形，利用三角函数分别求得增加的下底宽和高的相应线段．所需的土方=增加横截面的面积×长度1000．

解答 解：分别作DM⊥AB交AB于M，EN⊥AB交AB于N．
∵$\frac{DM}{AM}$=$\frac{1}{1}$，
∴∠DAM=45°，△ADM为等腰三角形，
∵AD=8，
∴DM=AM=4$\sqrt{2}$．
又∵CD∥AB，
∴EN=DM=4$\sqrt{2}$，
DE=MN=1.5．
在Rt△FNE中，$\frac{EN}{FN}$=$\frac{1}{2}$，
∴FN=2EN=8$\sqrt{2}$．
∴FA=FN+NM-AM=8$\sqrt{2}$+1.5-4$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$+1.5≈7.16．
S_{四边形ADEF}=$\frac{1}{2}$（AF+DE）•EN=$\frac{1}{2}$（7.16+1.5）×5.66≈24.50（m²），
∴完成这一工程所需的土方24.50×1000=24500m³．

点评 本题考查是解直角三角形的应用，构造直角三角形是常用的辅助线方法，注意锐角三角函数的概念的正确运用．