Question

18．若a，b，c分别是直角三角形的三边长，给出下列结论：
（a）长为a²，b²，c²的三条线段能组成直角三角形吗？为什么？
（2）长为2a，2b，2c的三条线段能组成直角三角形吗？为什么？

Answer 1

分析 由a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边），根据勾股定理得出a²+b²=c²，
（1）举反例不能得出（a²）²+（b²）²=（c²）²，由勾股定理的逆定理即可判断长为a²，b²，c²的三条线段不能组成直角三角形；
（2）由a²+b²=c²，根据等式的性质以及幂的乘方的性质可得（2a）²+（2b）²=（2c）²，由勾股定理的逆定理即可判断长为2a，2b，2c的三条线段能组成直角三角形．

解答 解：∵a，b，c分别是直角三角形的三边长（假设c是斜边），
∴a²+b²=c²，
（1）不能．理由如下：
令a=3，b=4，c=5，满足a²+b²=c²，
但是（a²）²+（b²）²=81+256=337，（c²）²=625，
∴（a²）²+（b²）²≠（c²）²，
∴长为a²，b²，c²的三条线段不能组成直角三角形；
（2）能．理由如下：
∵a²+b²=c²，
∴4a²+4b²=4c²，
即（2a）²+（2b）²=（2c）²，
∴长为2a，2b，2c的三条线段能组成直角三角形．

点评 本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．