Question

8．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：△BDC≌△BEC；
（2）若BE=10，CE=6，连接OE，求OE的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出AB=CD，AB∥DC，∠BCD=∠BCE=90°，求出四边形ABEC为平行四边形，求出DC=EC，根据SAS推出全等即可；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，根据平行四边形的性质得出AC=BE，求出OF和EF的长，最后根据勾股定理求出EF即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB∥DC，∠BCD=∠BCE=90°，
∵AC∥BE，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AB=CE，
∴DC=EC，
在△BCD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BC}\\{∠BCD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$
∴△BCD≌△BCE；
（2）解：过点O作OF⊥CD于点F，

∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形，
∴AC=BE，
∴BE=BD=10，
∵△BCD≌△BCE，
∴CD=CE=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=OB，∠BCD=90°，
∵OF⊥CD，
∴OF∥BC，
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴EF=6+3=9，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8，
∵OB=OD，
∴OF为△BCD的中位线，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=4．
∴在Rt△OEF中，由勾股定理可得OE=$\sqrt{O{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{9}^{2}}$=$\sqrt{97}$．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．