Question

19．已知一元二次方程且x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0 
（1）若这个方程有实根，求k的取值范围；
（2）若这方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两根为横、纵坐标的点恰好在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有实数根可得出△≥0，求出k的取值范围即可；
（2）把x=1代入，求出k的值即可；
（3）根据根与系数的关系得出m的表达式，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵一元二次方程且x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0有实根，
∴△≥0，即△=[-2（k-3）]²-4（k²-4k-1）≥0，解得k≤$\frac{13}{2}$；

（2）∵这方程有一个根为1，
∴1²-2（k-3）+k²-4k-1=0，解得k=3±$\sqrt{3}$；

（3）设方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁x₂=k²-4k-1，
∵方程的两根为横、纵坐标的点恰好在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=x₁x₂=k²-4k-1，
∴m最小=$\frac{-4-16}{4}$=-5．

点评 本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解以及反比例函数图象上点的坐标特征的知识，熟知根与系数的关系是解答此题的关键．