Question

17．如下数表是由从1开始的自然数组成的．

观察规律并解答下列问题：
（1）数表中第8行第9个数（从左向右看，下同）是7．第8行各数的和是64；
（2）若第n行第m个数为a，用含n、m的式子表示a；
（3）若正整数k≤n．试求从第1行到第n行这n行中所有等于k的数之和．

Answer 1

分析 （1）从第1行开始找规律：确定第n行：第n个数和第n+1个数；总结规律即可；
（2）根据数表：每一行中间的数最大，依次向前减1；所以要分情况进行讨论：
①当m≤n时，即为中间前面的数，第几个数就是几；
②当m＞n时，即中间后面的数，依次小1，每个数为2n-m；
（3）从k=1开始依次计算：从第1行到第n行这n行中所有等于k的数之和，并找规律即可，

解答 解：（1）第1行：第1个数为1；
第2行：第2个数为2，第3个数为2-1=1；
第3行：第3个数为3，第4个数为3-1=2；
第4行：第4个数为4，第5个数为4-1=3；
…
第8行：第8个数为8，第9个数为8-1=7，
第8行各数的和=1+2+3+…+8+7+…+1=64；
故答案为：7；64；
（2）分两种情况：
①当m≤n时，a=m；
②当m＞n时，a=2n-m；
（3）当k=1时，从第1行到第n行这n行中所有等于1的数之和=1×（2n-1）=2n-1．
当k=2时，从第1行到第n行这n行中所有等于k的数之和=2×[2（n-1）-1]=4n-6．
当k=3时，从第1行到第n行这n行中所有等于k的数之和=3×[2（n-2）-1]=6n-15．
…
∴若正整数k≤n．从第1行到第n行这n行中所有等于k的数之和=k[2n-（2k-1）]=2nk-2k²+k．

点评 本题考查了数字的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．