Question

7．（1）如图1，已知△ABC的面积是30，CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，CD、BE相交于点O，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO，由AD=DB得：S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=15，S_△ADO=S_△BDO，同理：S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=15，S_△AEO=S_△CEO，设S_△ADO=x，S_△AEO=y，则S_△BDO=x，S_△CEO=y，由题意，可列方程组为：$\left\{\begin{array}{l}2x+y=15\\ x+2y=15\end{array}$，通过解这个方程组可求得四边形ADOE的面积为10．

（2）如图2，△ABC的面积是36，D、E分别是边AB、AC边上的点，且AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积．
（3）如图3，?ABCD中，E是BC上一点，F是AB上一点，AE=CF，AE与CF交于点P，连结PD．求证：PD平分∠APC．

Answer 1

分析 （1）解方程组求出x、y，再求出x+y即可解决问题；
（2）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S_△ADO=$\frac{1}{3}$S_△BDO，同理可得S_△CEO=$\frac{1}{2}$S_△AEO，设S_△ADO=x，S_△CEO=y，则S_△BDO=3x，S_△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果；
（3）过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，由S_△ADE=$\frac{{S}_{平行四边形ABCD}}{2}$=S_△DFC，可得：$\frac{AE•DQ}{2}$=$\frac{DG•FC}{2}$，又∵AE=FC，可得DQ=DG，可得∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理）；

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}2x+y=15\\ x+2y=15\end{array}$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴S_{四边形ADOE}=S_△ADO+S_△AEO=x+y=10．
故答案为10．

（2）如图2中，连结AO．

∵AD：DB=1：3，
∴S_△ADO=$\frac{1}{3}$S_△BDO，
∵CE：AE=1：2，
∴S_△CEO=$\frac{1}{2}$S_△AEO，
设S_△ADO=x，S_△CEO=y，则S_△BDO=3x，S_△AEO=2y，
由题意得：S_△ABE=$\frac{2}{3}$S_△ABC=20，S_△ADC=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{15}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=\frac{15}{2}}\\{4x+2y=20}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴S_{四边形ADOE}=S_△ADO+S_△AEO=x+2 y=$\frac{13}{2}$．

（3）证明：过D作DQ⊥AE，DG⊥CF，并连接DF和DE，如图3中：

则由S_△ADE=$\frac{{S}_{平行四边形ABCD}}{2}$=S_△DFC，
可得：$\frac{AE•DQ}{2}$=$\frac{DG•FC}{2}$，
又∵AE=FC，可得DQ=DG，
∵DQ⊥AE，DG⊥CF，
∴∠DPA=∠DPC（角平分线逆定理），
∴PD为∠APC的角平分线，

点评 本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，角平分线的判定定理，解得的关键是学会构建方程组解决问题，学会利用角平分线的判定定理，添加相应的辅助线，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．