Question

16．观察下列式子，并完成后面的问题：
1³+2³=$\frac{1}{4}×{2^2}×{3^2}$
1³+2³+3³=$\frac{1}{4}×{3^2}×{4^2}$
1³+2³+3³+4³=$\frac{1}{4}×{4^2}×{5^2}$
…
（1）1³+2³+3³+4³+…+n³=$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；
（2）（2n）³=2n×2n×2n=2×2×2n•n•n=2³n³=8n³．你能利用上述关系计算2³+4³+6³+8³+…+20³=24200；
（3）得用（1）、（2）得到结论，7³+9³+…+19³等于多少吗？并写出你是怎样得到的？

Answer 1

分析 （1）观察不难发现，从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4；
（2）将原式变形为（2×1）³+（2×2）³+（2×3）³+（2×4）³+…+（2×10）³=8×（1³+2³+3³+4³+…+10³），再套用（1）中公式计算可得；
（3）由（1）得1³+2³+3³+4³+…+20³=$\frac{1}{4}$×20²×21²=44100，由（2）得2³+4³+6³+8³+…+20³=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²=24200，两式相减从而得出1³+3³+5³+7³+…+19³，再减去1³+3³+5³即可得答案．

解答 解：（1）∵1³=$\frac{1}{4}$×1²×2²，
1³+2³=$\frac{1}{4}$×2²×3²，
1³+2³+3³=$\frac{1}{4}$×3²×4²，
∴1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；
故答案为：$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；

（2）原式=（2×1）³+（2×2）³+（2×3）³+（2×4）³+…+（2×10）³
=8×（1³+2³+3³+4³+…+10³）
=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²
=24200，
故答案为：24200；

（3）由（1）知1³+2³+3³+4³+…+20³=$\frac{1}{4}$×20²×21²=44100，
由（2）知，2³+4³+6³+8³+…+20³=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²=24200，
∴1³+3³+5³+7³+…+19³=44100-24200=19900，
又∵1³+3³+5³=1+27+125=153，
∴7³+9³+…+19³=19747．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出数字的规律是从1开始的连续自然数的立方和等于自然数的个数的平方乘比个数大1的数的平方，再除以4是解题的关键．