Question

如图，双曲线y=

k

x

(x＞0)上有一点A（1，5），过点A的直线y=-mx+n与该双曲线交于点B，且点B的纵坐标为1．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象直接写出在第一象限内一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：计算题

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B纵坐标代入反比例解析式中求出横坐标，确定出B的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出m与n的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，三角形OAB面积=三角形OAC面积-三角形BOC面积，求出即可；
（3）找出图象上一次函数在反比例函数上方时x的范围即可．

解答：解：（1）将A（1，5）代入反比例解析式得：k=5，
∴反比例解析式为y=

5

x

，
将y=1代入y=

5

x

中得：x=5，即B（5，1），
将A与B代入一次函数解析式得：

-m+n=5 -5m+n=1

，
解得：

m=1 n=4

，
则一次函数解析式为y=-x+6；

（2）对于一次函数y=-x+6，令y=0，求出x=6，即C（6，0），
∴OC=6，
又AD=5，BE=1，
则S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=

1

2

×6×5-

1

2

×6×1=12；

（3）根据图象得：当1＜x＜5时，一次函数的值大于反比例函数的值．

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．