Question

7．在△ABC中，AB=4，BC=2，∠ABC=90°，点D，E在△ABC边上，△DEC是等腰直角三角形，请画出图形，并直接写出等腰直角△DFC底边的长．

Answer 1

分析 在图1，图2中，分三种情形分别求解即可解决问题．

解答 解：①如图1中，当∠DCE=45°，E与B重合时，△DEC是等腰直角三角形，易知CD=2$\sqrt{2}$．
②如图2中，当△CDE是等腰直角三角形时，设CE=DE=a，则CD=$\sqrt{2}$a，AE=2$\sqrt{5}$-a，
则有tan∠A=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{2\sqrt{5}-a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{2}{3}$$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{2}$a=$\frac{2}{3}$$\sqrt{10}$，
③当△CDE′是等腰直角三角形时，易知斜边CE′=2a=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$，
综上所述，满足条件的等腰直角△DFC底边的长为2$\sqrt{2}$或$\frac{2\sqrt{10}}{3}$或$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．