Question

17．如图：正五边形ABCDE中，若边长AB=2，则AC为（　　）

• A． $\sqrt{5}$+1
• B． $\sqrt{5}$-1
• C． $\sqrt{5}$+2
• D． $\sqrt{5}$-2

Answer 1

分析 如图设AC与BD交于点O．首先证明AB=OA=2，设CO=x，再证明△BCO∽△ACB，可得$\frac{CB}{AC}$=$\frac{CO}{CB}$，即BC²=CO•CA，列出方程即可解决问题．

解答 解：如图设AC与BD交于点O．

在正五边形ABCD中，易知∠CBO=∠CAB=36°，∠ABO=∠AOB=72°，
∴BC=AB=AO=2，设CO=x，
∵∠BCO=∠BCA，
∴△BCO∽△ACB，
∴$\frac{CB}{AC}$=$\frac{CO}{CB}$，
∴BC²=CO•CA，
∴4=x（x+2），
∴x=$\sqrt{5}$-1或-$\sqrt{5}$-1（舍弃），
∴AC=OC+OA=$\sqrt{5}$+1．
故选A．

点评 本题考查正多边形与圆、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，列出方程解决问题．