Question

12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在线段BC上运动，连接AD，以AD为边作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
①若tan∠ABC=2，AB=3$\sqrt{5}$，AE=2$\sqrt{10}$，求BD长？
②若直线DE与直线BC所夹锐角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{3}$，cos∠BAC=$\frac{1}{3}$，BC=4，求BD的长．

Answer 1

分析 ①如图1中，作DF⊥AB于F．由tan∠B=2=$\frac{DF}{BF}$，设BF=k，DF=2k，则AF=3$\sqrt{5}$-k，在Rt△ADF中，AD=AE=2$\sqrt{10}$，可得（2$\sqrt{10}$）²=（2k）²+（3$\sqrt{5}$-k）²，解方程即可；
②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，则∠EDC=∠CAE=∠BAD，在Rt△ABH中，由cos∠BAH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{1}{3}$，设AH=m，AB=3m，则CH=2m，BH=2$\sqrt{2}$m，在Rt△BCH中，（2$\sqrt{2}$m）²+（2m）²=16，解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，推出AB=2$\sqrt{3}$，由tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，设DF=$\sqrt{2}$n，AF=3n，易知tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\sqrt{2}$，推出BF=n，由AF+BF=AB=2$\sqrt{3}$，可得4n=2$\sqrt{3}$，求出n即可解决问题；

解答 解：①如图1中，作DF⊥AB于F．

∵tan∠B=2=$\frac{DF}{BF}$，设BF=k，DF=2k，则AF=3$\sqrt{5}$-k，
在Rt△ADF中，AD=AE=2$\sqrt{10}$，
∴（2$\sqrt{10}$）²=（2k）²+（3$\sqrt{5}$-k）²，
∴k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$或$\sqrt{5}$，
∵BD=$\sqrt{5}$k，
∴BD=$\sqrt{5}$或5．
②如图②中，作DF⊥AB于F，BH⊥AC于H，

∵∠AED=∠ACD，
∴∠EDC=∠CAE=∠BAD，
在Rt△ABH中，∵cos∠BAH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{1}{3}$，设AH=m，AB=3m，则CH=2m，BH=2$\sqrt{2}$m，
在Rt△BCH中，（2$\sqrt{2}$m）²+（2m）²=16，
解得m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠BAD=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，设DF=$\sqrt{2}$n，AF=3n，易知tanB=$\frac{DF}{BF}$=$\sqrt{2}$，
∴BF=n，
∵AF+BF=AB=2$\sqrt{3}$，
∴4n=2$\sqrt{3}$，
∴n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴BD=$\sqrt{3}$n=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．