Question

2．已知：如图，点E、F是半径为5cm的⊙O上两定点，点P是直径AB上的一动点，AB⊥OF，∠AOE=30°，则点P在AB上移动的过程中，PE+PF的最小值是（　　）

• A． 5cm
• B． 5$\sqrt{2}$cm
• C． 5$\sqrt{3}$cm
• D． 10cm

Answer 1

分析 作点F′与点F关于AB对称．连接EF′，EF′交AB与点P，连接PF、EF．由轴对称的性质可知PE+FP=EP+PF′=EF′，然后再Rt△EFF′中求得∠EF′F=30°
，由特殊锐角三角函数值可求得EF′的长度．

解答 解：如图所示，作点F′与点F关于AB对称．连接EF′，EF′交AB与点P，连接PF、EF．

∵点F′与点F关于AB对称，
∴PF′=PF．
∴PE+FP=EP+PF′=EF′．
∵FF′是圆O的直径，
∴∠FEF′=90°．
∵∠AOE=30°，
∴∠EOF=60°．
∴∠EF′F=30°．
∴$\frac{EF′}{FF′}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{EF′}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴EF′=5$\sqrt{3}$．
∴PE+PF=5$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、轴对称--路径最短、圆周角定理、特殊锐角三角函数值，求得∠EF′F=30°是解题的关键．