Question

13．如图①，将两个不全等的等腰三角形△OAB和△OCD叠放在一起，其中两顶角∠AOB，∠COD都等于80°
（1）在图①，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成80度角．
（2）将图①中的∠OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图2，点E，F在直线上，求直线AC，BD相交成锐角的大小．
（3）若将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个钝角时，直接写出直线AC，BD成的锐角的大小．

Answer 1

分析 （1）由图可知线段AC，BD相等，且直线AC，BD相交成80°角．
（2）由∠COD=∠AOB=80°，得到∠COA=∠DOB（或由旋转得∠COA=∠DOB），证得△COA≌△DOB，于是得到∠OCA=∠ODB，由于∠BEA=∠BDO+∠DFE=∠ACO+∠CFO=180°-∠COD，于是求得结论；
（3）如图3，同理可证△COA≌△DOB，根据全等三角形的性质得到∠2=∠1，然后根据三角形的内角和和等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成80度角；
故答案为：相等，80°

（2）∵∠COD=∠AOB=80°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB（或由旋转得∠COA=∠DOB），
∵CO=OD，OA=OB，
在△COA与△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=OD}\\{∠COA=∠DOB}\\{OA=OB}\end{array}\right.$，
∴△COA≌△DOB，
∴∠OCA=∠ODB，
∵∠BEA=∠BDO+∠DFE=∠ACO+∠CFO=180°-∠COD，
∴直线AC，BD相交成锐角的大小=∠COD=80°；

（3）如图3，
同理可证△COA≌△DOB，
∴∠2=∠1，
∵∠CED=180°-∠DCE-∠CDO-∠1
=180°-∠DCE-∠CDO-∠2
=∠COD
=80°．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，涉及到等腰直角三角形的性质、旋转的相关知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．