Question

7．某希望中学有块三角形的菜地，现可以直接测量到tanB=$\frac{1}{2}$，AC=$\sqrt{5}$千米，BC=$\sqrt{10}$千米，则这块菜地的面积为$\frac{4±\sqrt{6}}{2}$平方千米．

Answer 1

分析 分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，由已知条件得出BD=2AD，设AD=x，BD=2x，则CD=BC-BD=$\sqrt{10}$-2x，由勾股定理得出方程，解方程求出AD，即可求出结果；
②△ABC是钝角三角形时，作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，同①得出设AD=x，BD=2x，则CD=BC-BD=2x-$\sqrt{10}$，由勾股定理得出方程，解方程求出AD，即可求出结果；．

解答 解：分两种情况：①△ABC是锐角三角形时，如图1所示：
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2AD，
∴设AD=x千米，BD=2x千米，
则CD=BC-BD=$\sqrt{10}$-2x（千米），
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即x²+（$\sqrt{10}$-2x）=（$\sqrt{5}$）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{5}$，或$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{5}$，（不合题意，舍去）；
∴AD=$\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{5}$（千米），
∴这块菜地的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{5}$=$\frac{4-\sqrt{6}}{2}$（平方千米）；
②△ABC是钝角三角形时，如图2所示：
作AD⊥BC于D，则∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2AD，
∴设AD=x千米，BD=2x千米，
则CD=BC-BD=2x-$\sqrt{10}$（千米），
由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，
即x²+（$\sqrt{10}$-2x）=（$\sqrt{5}$）²，
解得：x=$\frac{2\sqrt{10}-\sqrt{15}}{5}$（不合题意，舍去），或$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{5}$；
∴AD=$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{5}$（千米），
∴这块菜地的面积=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\frac{2\sqrt{10}+\sqrt{15}}{5}$=$\frac{4+\sqrt{6}}{2}$（平方千米）；
综上所述：这块菜地的面积为$\frac{4±\sqrt{6}}{2}$平方千米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、解方程；熟练掌握解直角三角形，由勾股定理得出方程是解决问题的关键；注意分类讨论．