Question

12．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，CE是边AB上的高，若∠CDA=45°，求∠BED的度数．

Answer 1

分析 作DF⊥AB于F，DG⊥EC于G，DH⊥AC交AC的延长线于H，根据角平分线的性质得到DF=DH，根据三角形的外角的性质证明∠DCH=∠DCG，证明△DCG≌△DCH，
得到DH=DG，根据角平分线的定义得到答案．

解答 解：作DF⊥AB于F，DG⊥EC于G，DH⊥AC交AC的延长线于H，
∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DF=DH，
∠DCH=45°+∠DAC，
∠DCG=90°-∠B
=90°-（∠ADC-∠BAD）
=45°+∠BAD，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=∠BAD，
∴∠DCH=∠DCG，
在△DCG和△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCG=∠DCH}\\{∠DGC=∠DHC}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△DCH，
∴DH=DG，又DF=DH，
∴DF=DG，
∴ED平分∠BEC，又CE是边AB上的高，
∴∠BED=45°．

点评 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念和性质以及三角形全等的判定和性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．