Question

19．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在抛物线上是否存在点P，使tan∠PBA=$\frac{1}{3}$？若存在，求点P坐标及△PAB的面积．
（3）将△COB沿x轴负方向平移1.5个单位至△FGH处，求△FGH与△AOC的重叠面积．
（4）若点D、E分别是抛物线的对称轴l上的两动点，且纵坐标分别为n，n+6，求CE+DB的最小值及此时D、E的坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+3）（x-1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）作PH⊥x轴于H，如图1，设P（t，-t²-2t+3），分类讨论：利用tan∠PBA=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{3}$得到$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，或$\frac{-（-{t}^{2}-2t+3）}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，然后分别解方程求出t得到P点坐标，再利用三角形面积公式计算对应的△PAB的面积；
（3）FG、FH分别交AC于N、M，如图2，利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-3x+3，再利用直线平移的规律得到直线FH的解析式为y=-3x-$\frac{3}{2}$，利用点平移的规律得到H（-$\frac{1}{2}$，0），G（-$\frac{3}{2}$，0），接着通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-\frac{3}{2}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$得M（-$\frac{9}{8}$，$\frac{15}{8}$），然后根据三角形面积公式，利用△FGH与△AOC的重叠面积=S_△MAO-S_△ANG进行计算即可；
（4）把C点沿y轴向下平移6个单位得到G（0，-3），连结AG交抛物线的对称轴（直线x=-1）于D，连结DB，易得四边形CEDG为平行四边形，则DG=CE，由于DB+CE=DA+DG=AG，根据两点之间线段最短可判断此时DB+CE最小，根据勾股定理可计算出最小值，接着求出直线AG的解析式，然后确定D点和E点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以抛物线的解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2）存在．
作PH⊥x轴于H，如图1，tan∠PBA=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{3}$，
设P（t，-t²-2t+3），
当点P在x轴上方时，$\frac{-{t}^{2}-2t+3}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3t²+5t-8=0，解得t₁=1（舍去），t₂=-$\frac{8}{3}$，
此时P点坐标为（-$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$），S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\frac{11}{9}$=$\frac{22}{9}$；
当点P在x轴下方时，$\frac{-（-{t}^{2}-2t+3）}{1-t}$=$\frac{1}{3}$，
整理得3t²+7t-10=0，解得t₁=1（舍去），t₂=-$\frac{10}{3}$，
此时P点坐标为（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$），S_△PAB=$\frac{1}{2}$•（1+3）•$\frac{13}{9}$=$\frac{26}{9}$；
综上所述，P点坐标为（-$\frac{8}{3}$，$\frac{11}{9}$），S_△PAB=$\frac{22}{9}$；P点坐标为（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$），S_△PAB=$\frac{26}{9}$；
（3）FG、FH分别交AC于N、M，如图2，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C（0，3），B（1，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-3x+3，
把直线y=-3x+3向左平移$\frac{3}{2}$个单位得到直线FH的解析式为y=-3（x+$\frac{3}{2}$）+3=-3x-$\frac{3}{2}$，点B平移到H（-$\frac{1}{2}$，0），点O平移得到G（-$\frac{3}{2}$，0）
易得直线AC的解析式为y=x+3，△OAC为等腰直角三角形，则△ANG为等腰直角三角形，
所以NG=AG=3-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x-\frac{3}{2}}\\{y=x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{9}{8}}\\{y=\frac{15}{8}}\end{array}\right.$，则M（-$\frac{9}{8}$，$\frac{15}{8}$），
所以△FGH与△AOC的重叠面积=S_△MAO-S_△ANG=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$+3）×$\frac{15}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{39}{32}$；
（4）把C点沿y轴向下平移6个单位得到G（0，-3），连结AG交抛物线的对称轴（直线x=-1）于D，连结DB，如图3，
则DB=DA，DE=CG，
所以四边形CEDG为平行四边形，则DG=CE，
所以DB+CE=DA+DG=AG，此时DB+CE最小，最小值为$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
设直线AG的解析式为y=px+q，
把A（-3，0），G（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3p+q=0}\\{q=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=-3}\end{array}\right.$，
所以直线AG的解析式为y=-x-3，
当x=-1时，y=-x-3=-2，则D（-1，-2），E（-1，4）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；记住三角形面积公式，理解坐标与图形性质；能利用两点之间线段最短解决最短路径问题．