Question

3．已知关于x的一元二次方程x²+4x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你在-5，-4，-3，1，2，3中选择一个数作为k的值，使方程有两个整数根，并求出方程的两个整数根．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个不等实根结合根的判别式，可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）结合（1）的结论，找出k的值，并验证k为这些数时，何时方程的两根为整数，由此即可得出结论．

解答 解：（1）∵方程x²+4x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=4²-4×1×（-k）=16+4k＞0，
解得：k＞-4，
∴k的取值范围为k＞-4；
（2）当k=-3时，△=16+4k=4，
原方程为x²+4x+3=（x+1）（x+3）=0，
解得：x=-1或x=-3；
当k=1时，△=16+4k=20，
$\sqrt{20}$不是整数；
当k=2时，△=16+4k=24，
$\sqrt{24}$不是整数；
当k=3时，△=16+4k=28，
$\sqrt{28}$不是整数．
∴当取k=-3时，方程的两个整数根为-1或-3．

点评 本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找出△=16+4k＞0；（2）验证k为何值时，方程有两个整数根．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．