Question

如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=-

3

3

x+m与x轴交于点E．
（1）求点E的坐标．
（2）求证：OA⊥AE．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）利用等边三角形的性质得出OD=BD=1，再利用勾股定理得出AD的长，即可得出A点坐标，即可求出函数解析式；
（2）利用E点坐标得出EO的长，进而求出AE的长，再利用勾股定理逆定理得出答案．

解答：（1）解：过点A作AD⊥EO于点D，
∵△OAB是边长为2的等边三角形，
∴OD=DB=1，AB=AO=OB=2，
∴AD=

3

，
∴A（1，

3

），
将A点代入直线y=-

3

3

x+m得：

3

=-

3

3

+m，
解得：m=

4 3

3

，
故y=-

3

3

x+

4 3

3

，
则y=0时，x=4，
即E（4，0）；

（2）证明：∵AD=

3

，DE=EO-DO=3，
∴AE=

32+( 3 )2

=2

3

，
∵AO²+AE²=16，EO²=16，
∴AO²+AE²=EO²，
∴OA⊥AE．

点评：此题主要考查了等边三角形的性质以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函数图象上点的坐标性质，得出A点坐标是解题关键．