如图.AB是⊙O直径.点P是AB下方的半圆上不与点A.B重合的一个动点.点C为AP中点.延长CO交⊙O于点D.连接AD.过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E.连CE．(1)求证:△DAC≌△ECP,(2)填空:①当∠DAP=45°时.四边形DEPC为正方形,②在点P运动过程中.若⊙O半径为5.tan∠DCE=$\frac{1}{2}$.则AD=4$\sqrt{5}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，AB是⊙O直径，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的廷长线于点E，连CE．
（1）求证：△DAC≌△ECP；
（2）填空：
①当∠DAP=45°时，四边形DEPC为正方形；
②在点P运动过程中，若⊙O半径为5，tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，则AD=4$\sqrt{5}$．

分析（1）先由切线的性质得到∠CDE=90°，再利用垂径定理的推理得到DC⊥AP，接着根据圆周角定理得到∠APB=90°，于是可判断四边形DEPC为矩形，所以DC=EP，然后根据“SAS”判断△DAC≌△ECP；
（2）①利用四边形DEPC为矩形得到DE=PC=AC，则根据正方形的判定方法得DC=CP时，四边形DEPC为正方形，则DC=CP=AC，于是得到此时△ACD为等腰直角三角形，所以∠DAP=45°；
②先证明∠ADC=∠DCE，再在Rt△ACD中利用正切得到tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{1}{2}$，则设AC=x，DC=2x，利用勾股定理得到AD=$\sqrt{5}$x，然后在Rt△AOC中利用勾股定理得到x²+（2x-5）²=5²，再解方程求出x即可得到AD的长．

解答（1）证明：∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠CDE=90°，
∵点C为AP的中点，
∴DC⊥AP，
∴∠DCA=∠DCP=90°，
∵AB是⊙O直径，
∴∠APB=90°，
∴四边形DEPC为矩形，
∴DC=EP，
在△DAC和△ECP中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=PC}\\{∠ACD=∠CPE}\\{DC=EP}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△ECP；
（2）解：①∵四边形DEPC为矩形，
∵DE=PC=AC，
∵当DC=CP时，四边形DEPC为正方形，
此时DC=CP=AC，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴∠DAP=45°；
②∵DE=AC，DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠ADC=∠DCE，
在Rt△ACD中，tan∠ADC=$\frac{AC}{CD}$=tan∠DCE=$\frac{1}{2}$，
设AC=x，则DC=2x，
∴AD=$\sqrt{{x}^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
在Rt△AOC中，AO=5，OC=CD-OD=2x-5，
∴x²+（2x-5）²=5²，解得x₁=0（舍去），x₂=4，
∴AD=4$\sqrt{5}$．
故答案为45°，4$\sqrt{5}$．