Question

如图，有长为30m的篱笆，一面得用墙（墙的最大可用长度为20m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．
（1）设AB的长为x m，请用含x的代数式表示矩形ABCD的面积；  
（2）如果要围成面积为63m²的花圃，AB的长是多少？
（3）将（1）中表示矩形ABCD的面积的代数式通过配方，问：当AB等于多少时，能够使矩形ABCD花圃面积最大，最大的面积为多少？

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,配方法的应用

专题：

分析：（1）利用矩形面积公式建立面积与AB的长的关系式；
（2）利用面积与AB的长的关系式在已知面积的情况下，求AB的长，由于是实际问题，AB的值也要受到限制；
（3）利用面积与AB的长的关系式求面积最大值．

解答：解：（1）由题意得：
矩形ABCD的面积=x（30-3x），即矩形ABCD的面积=-3x²+30x．

（2）当矩形ABCD的面积为63时，-3x²+30x=63．
解此方程得x₁=7，x₂=3．
当x=7时，30-3x=9＜20，符合题意；
当x=3时，30-3x=21＞20，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m²．

（3）能．
矩形ABCD的面积=-3x²+30x=-3（x-5）²+75
而由题意：0＜30-3x≤20，
即

10

3

≤x＜10
又∵当x＞5时，y随x的增大而减小，
∴当x=5m时面积最大，最大面积为75m²．

点评：考查了一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题．