Question

7．如图，Rt△OAB在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，且OA=3，OB=$\sqrt{3}$，边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的等边三角形OCD的一边OC在y轴的正半轴上，点D位于第二象限内．若等边三角形OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，点D运动到y轴上则停止运动；设点O运动的对应点为点E，ED与y轴的交点为F，CD与y轴和AB的交点分别为H，G，CE与AB的交点为M，设△OCD运动的时间为t秒，△ECD与△OAB重叠部分的面积为S．
（1）若反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，请直接写出k的值；
（2）求出S关于t的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）在坐标平面内是否存在点P，使以E，F，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作DH⊥OC于H．根据等边三角形的性质求出点D的坐标，即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①如图3中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形EFBM，②如图4中，当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{9}{4}$时，重叠部分是五边形EFHKM．分别计算即可．
（3）当△FEM是等边三角形时，E，F，M，P为顶点的四边形是菱形，分三种情形讨论即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，作DH⊥OC于H．

∵△ODC是等边三角形，OC=DC=DO=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=DC•sin60°=$\frac{9}{4}$，OH=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴D（-$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点D，
∴k=-$\frac{27\sqrt{3}}{16}$．

（2）如图2中，当直线CD经过点B时．

∵DB=DF=BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DH=DB•sin60°=$\frac{3}{4}$，OE=$\frac{9}{4}$-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{2}$
①如图3中，当0＜t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是平行四边形EFBM，

∵直线AB的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，
∵OE=t，
∴ME=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$，
∴S=t•（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²+$\sqrt{3}$t．
②如图4中，当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{9}{4}$时，重叠部分是五边形EFHKM．

S=S_△DCE-S_△CKM-S_△DHF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t）²=-$\frac{5\sqrt{3}}{12}$t²+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$t+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+\sqrt{3}t}&{（0＜t≤\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5\sqrt{3}}{12}{t}^{2}+\frac{5\sqrt{3}}{4}t+\frac{3\sqrt{3}}{2}}&{（\frac{3}{2}＜t≤\frac{9}{4}）}\end{array}\right.$．

（3）如图5中，

当△FEM是等边三角形时，E，F，M，P为顶点的四边形是菱形，
∵EF=EM，
∴$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t+$\sqrt{3}$，
∴t=1，
∴OE=1，OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵四边形EFMP₁是菱形，
∴P₁（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∵四边形EMP₂F是菱形，
∴P₂（0，$\sqrt{3}$），
∵四边形EMFP₃是菱形，
∴P₃（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
综上所述，满足条件的点P坐标为（2，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）或（0，$\sqrt{3}$）或（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查反比例函数综合题、平移变换、多边形面积、等边三角形的性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．