Question

4．如图所示，抛物线y=$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，-6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；
（3）在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；
（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC²与DE²，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A（-2，0）、B（0，-6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-2b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
故抛物线的函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
（2）如图1中，作EF⊥y轴于点F，
令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，
解得x₁=-2，x₂=6，
则点C的坐标为（6，0），
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
∴点E坐标为（2，-8），设点D的坐标为（0，m），
∵DC²=OD²+OC²=m²+6²，DE²=DF²+EF²=（m+8）²+2²，
∵DC=DE，
∴m²+36=m²+16m+64+4，
解得m=-2，
∴点D的坐标为（0，-2）；
（3）如图2中，过点P作PG⊥y轴于点G，EF⊥y轴于F．
∵点C（6，0），D（0，-2），E（2，-8），
∴CO=DF=6，DO=EF=2，
根据勾股定理，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
在△COD和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CO=DF}\\{∠COD=∠DFE}\\{DO=EF}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°-90°=90°，
∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴$\frac{OC}{DC}$=$\frac{OD}{DP}$，
即$\frac{6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{2}{DP}$，
解得DP=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
∵PG∥EF，
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{DP}{DE}$，
∴$\frac{DG}{6}$=$\frac{PG}{2}$=$\frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{2\sqrt{10}}$
∴DG=2，PG=$\frac{2}{3}$，
当点P在点D的左边时，OG=DG-DO=1-1=0，
所以点P（-$\frac{2}{3}$，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（$\frac{2}{3}$，-4），
②OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴$\frac{OC}{DP}$=$\frac{OD}{DC}$，
即$\frac{6}{DP}$=$\frac{2}{2\sqrt{10}}$解得DP=6$\sqrt{10}$，
∵PG∥EF
∴$\frac{DG}{DF}$=$\frac{PG}{EF}$=$\frac{DP}{DE}$，
∴$\frac{DG}{6}$=$\frac{PG}{2}$=$\frac{6\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}$，
∴DG=18，PG=6，
当点P在点D的左边时，OG=DG-OD=18-2=16，
所以，点P的坐标是（-6，16），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=2+18=20，
所以，点P的坐标是（6，-20），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（-$\frac{2}{3}$，0）、（$\frac{2}{3}$，-4）、（-6，16）、（6，-20）．

点评 本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，第三个问题学会分类讨论，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．