Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，D是边BC上一动点（不与点B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，给出下列结论：①图中有2对相似三角形；②线段CE长的最大值为6.4；③当AD=DC时，BD的长为$\frac{39}{4}$．其中正确的结论是（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②由△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，设BD=y，CE=x，可得$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，即$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，整理得：y²-16y+64=64-10x，即（y-8）²=64-10x，由64-10x≥0即可解决问题．
③当DA=DC时，易证△ADC∽△BAC，得$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，由此即可解决问题．

解答 解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠ECD=∠BAD，∵∠C=∠B，
∴△ABD∽△DCE，
∴图中有2对相似三角形，故①正确，
∵△CDE∽△BAD，BC=16，AB=10，
设BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{DC}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∵64-10x≥0
∴0＜x≤6.4，
∴CE的最大值为6.4，故②正确，
当DA=DC时，易证△ADC∽△BAC，
∴$\frac{AD}{BA}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AD}{10}$=$\frac{10}{16}$，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=16-$\frac{25}{4}$=$\frac{39}{4}$，故③正确．
故选D．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质、不等式的性质，二元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会用配方法确定变量x的取值范围，属于中考常考题型．