Question

9．已知△ABC中，∠BAC的外角平分线交对边BC的延长线于D，求证：AD²=BD•CD-AB•AC．

Answer 1

分析 作△ABC的外接圆，交DA的延长线于E，连接EC，易证△CEA∽△DBA，从而得到AB•AC=AD•AE，易证△DEC∽△DBA，从而得到DE•DA=DB•DC，就可证到结论．

解答 证明：作△ABC的外接圆，交DA的延长线于E，连接EC，如图所示，
根据圆周角定理得：∠CEA=∠CBA．
∵∠3=∠2，∠1=∠2，
∴∠3=∠1，
∴∠EAC=∠BAD．
∵∠CEA=∠CBA，∠EAC=∠BAD，
∴△CEA∽△DBA，
∴$\frac{AC}{AD}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AB•AC=AD•AE．
∵∠D=∠D，∠CED=∠ABD，
∴△DEC∽△DBA，
∴$\frac{DE}{DB}$=$\frac{DC}{DA}$，
∴DE•DA=DB•DC，
∴AB•AC=AD•AE=AD•（DE-AD）=AD•DE-AD²，
∴AD²=AD•DE-AB•AC=BD•CD-AB•AC．

点评 本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；通过作辅助圆证得△CEA∽△DBA及△DEC∽△DBA是解决本题的关键．