Question

14．如图，抛物线C₁是二次函数y=x²-10x在第四象限的一段图象，它与x轴的交点是O、A₁；将C₁绕点A₁旋转180°后得抛物线C₂；交x轴于点A₂；再将抛物线C₂绕A₂点旋转180°后得抛物线C₃，交x轴于点A₃；如此反复进行下去…
（1）抛物线C₃与x轴的交点A₃的坐标是多少？抛物线C_n与x轴的交点A_n的坐标是多少？
（2）若某段抛物线上有一点P（2016，a），试求a的值．

Answer 1

分析 （1）通过解方程x²-10x=0可得到A₁（10，0），则OA₁=10，再利用旋转的性质得OA₂=2OA₁=20，OA₃=3OA₁=30，…，OA_n=nOA₁=10n，所以A₃的坐标为（30，0），A_n的坐标为（10n，0）；
（2）由于2016=201×10+16，则可判断点P（2016，a）在抛物线C₂₀₂上，利用（1）中的结论得到抛物线C₂₀₂与x轴的交点坐标为（2010，0），（2020，0），抛物线开口向下，利用交点式写出抛物线C₂₀₂的解析式为y=-（x-2010）（x-2020），然后计算自变量为2016所对应的函数值即可．

解答 解：（1）当y=0时，x²-10x=0，解得x₁=0，x₂=10，则A₁（10，0），OA₁=10，
因为OA₂=2OA₁=20，OA₃=3OA₁=30，同理可得OA_n=nOA₁=10n，
所以A₃的坐标为（30，0），抛物线C_n与x轴的交点A_n的坐标为（10n，0）；
（2）因为2016=201×10+16，
所以点P（2016，a）在抛物线C₂₀₂上，
而抛物线C₂₀₂与x轴的交点坐标为（2010，0），（2020，0），抛物线开口向下，
所以抛物线C₂₀₂的解析式为y=-（x-2010）（x-2020），
把点P（2016，a）代入得a=-6×（-4）=24，
即a的值为24．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．解决（2）小题的关键是利用交点式确定点P所在抛物线的解析式．