Question

11．已知Rt△ABC，正方形ABGF，正方形ACDE，BAE共线，FD交AE于I，GE交AF于H，求证：AH=AI．

Answer 1

分析 设正方形ABGF，正方形ACDE的边长分别为a、b，先证明△EAH∽△EBG、△FAI∽△FCD，然后依据相似三角形的性质可求得AH=$\frac{ab}{a+b}$、AI=$\frac{ab}{a+b}$，于是可证明AH=AI．

解答 解：设正方形ABGF，正方形ACDE的边长分别为a、b．
∵AH∥BG，
∴△EAH∽△EBG．
∴$\frac{AH}{a}$=$\frac{b}{a+b}$，
∴AH=$\frac{ab}{a+b}$．
∵AI∥CD，
∴△FAI∽△FCD．
∴$\frac{AI}{CD}$=$\frac{AF}{CF}$，
∴$\frac{AI}{b}$=$\frac{a}{a+b}$．
∴AI=$\frac{ab}{a+b}$．
∴AI=AH．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．