Question

如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，BD的垂直平分线MN交AB于的E，连接DE，求证：AB=AC+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：易证△ACD≌△AED，则有AC=AE，CD=ED，根据垂直平分线的性质可得ED=EB，即可证到AB=AE+EB=AC+CD．

解答： 解：∵MN是DB的垂直平分线，
∴ED=EB，
∴∠EDN=∠B，
∴∠AED=∠EDN+∠B=2∠B
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=∠C．
又∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD=∠EAD．
在△ACD和△AED中，

∠C=∠AED ∠CAD=∠EAD AD=AD

，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE，CD=ED，
∴AB=AE+BE=AC+ED=AC+CD．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，证到△ACD≌△AED是解决本题的关键．