Question

11．如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知抛物线y=x²+2x-1，判断下列抛物线：①y=-x²+2x+1；②y=-2x²+4x+4与已知抛物线是否关联，并说明理由；
（2）已知抛物线C₁：y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$，点P的坐标为（t，-1），将抛物线绕点P旋转180°得到抛物线C₂（此处我们称点P为旋转点），若抛物线C₁与C₂关联，求抛物线C₂的解析式；
（3）在（2）的条件下，已知点A（4，y₀）是抛物线C₁上的一点，求以点A为顶点并与抛物线C₁相关联的抛物线C₃的解析式，并判断此时抛物线C₃能否由抛物线C₁旋转得来？若能，请求出旋转点坐标；若不能，请说明你的理由；
（4）由上述结论猜想：若两抛物线C₁、C₂相关联，则它们的二次式项系数（分别记为a₁，a₂）应满足数量关系：a₁+a₂=0．
参考公式（中点坐标公式）：若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则线段AB的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）先利用配方法求得三条抛物线的顶点坐标，然后依据关联函数的定义，将抛物线的顶点坐标代入函数解析式进行验证即可；
（2）先求得抛物线C₁的顶点坐标，然后利用中点坐标公式可求得旋转后抛物线的顶点坐标（用含t的式子表示），然后依据关联函数的定义列出关于t的方程，从而可求得t的值，然后依据抛物线C₂与抛物线C₁开口大小相同，但方向相反可确定出a₂的值，从而可求得C₂的解析式；
（3）先求得点A的坐标，然后设抛物线C₂：$y=a{（x-4）^2}+\frac{5}{2}$，将抛物线C₁的顶点（1，-2）代入求得a的值，得到C₂的解析式，依据二次函数的图象和性质可知抛物线C₂能否由抛物线C₁旋转得来，旋转点为两顶点（1，-2）与$（4，\frac{5}{2}）$的中点；
（4）设C₁=a₁（x-h₁）²+k₁，C₂=a₂（x-h₂）²+k₂，由关联函数的定义可知：点（h₁，k₁）在C₂上，点（h₂，k₂）在C₁上，然后再求得a₁、a₂的值，从而可作出判断．

解答 解：（1）已知抛物线y=x²+2x-1=（x+1）²-2，顶点坐标为（-1，-2），
抛物线①y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，顶点坐标为（1，2），
抛物线②y=-2x²+4x+4=-2（x-1）²+6，顶点坐标为（1，6），
很明显点（-1，-2）在抛物线①y=-x²+2x+1上，且点（1，2）也在已知抛物线y=x²+2x-1上，而点（1，6）并不在已知抛物线y=x²+2x-1上，
故抛物线①与已知抛物线相关联，而抛物线②不与已知抛物线相关联；
（2）抛物线C₁：$y=\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}{（x-1）^2}-2$，顶点坐标为（1，-2），
设抛物线C₂的顶点坐标为（x，y），根据中点坐标公式：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x+1}{2}=t\\ \frac{y-2}{2}=-1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=2t-1\\ y=0\end{array}\right.$．将（2t-1，0）代入抛物线C₁，即：$\frac{1}{2}{（2t-1）^2}-（2t-1）-\frac{3}{2}=0$，解得：t=0或t=2，即抛物线C₂的顶点坐标为（-1，0）或（3，0）．
又∵抛物线C₂与抛物线C₁开口大小相同，但方向相反，
∴抛物线C₂：$y=-\frac{1}{2}{（x+1）^2}$或$y=-\frac{1}{2}{（x-3）^2}$，即抛物线C₂：$y=-\frac{1}{2}{x^2}-x-\frac{1}{2}$或$y=-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{9}{2}$；
（3）将A（4，y₀）代入抛物线C₁，得：${y_0}=\frac{5}{2}$，
∴$A（4，\frac{5}{2}）$．
设抛物线C₂：$y=a{（x-4）^2}+\frac{5}{2}$，将抛物线C₁的顶点（1，-2）代入，解得：$a=-\frac{1}{2}$．此时抛物线C₂：$y=-\frac{1}{2}{（x-4）^2}+\frac{5}{2}$，即$y=-\frac{1}{2}{x^2}+4x-\frac{11}{2}$．
∵两抛物线开口大小相同，但方向相反，
∴抛物线C₂能否由抛物线C₁旋转得来，
旋转点为两顶点（1，-2）与$（4，\frac{5}{2}）$的中点，即$（\frac{5}{2}，\frac{1}{4}）$．
（4）设C₁=a₁（x-h₁）²+k₁，C₂=a₂（x-h₂）²+k₂，
由关联函数的定义可知：点（h₁，k₁）在C₂上，点（h₂，k₂）在C₁上，
∴k₁=a₂（h₁-h₂）²+k₂，k₂=a₁（h₂-h₁）²+k₁，
∴a₂=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{（{h}_{1}-{h}_{2}）^{2}}$，a₁=$\frac{{k}_{2}-{k}_{1}}{（{h}_{2}-{h}_{1}）^{2}}$．
∴a₁+a₂=0．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、配方法求抛物线的顶点坐标，明确关联函数的定义是解题的关键．