Question

10．如图，经过点A（0，6）的抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴相交于B（-2，0）、C两点．
（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；
（2）求直线AC所对应的函数关系式；
（3）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁，若新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（4）在（3）的结论下，新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形，请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程求出b、c即可得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式可得顶点D的坐标；
（2）先解方程$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0得C（6，0），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；
（3）利用抛物线的平移规律得到新抛物线y₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m，再计算出新抛物线的对称轴与直线AC的交点坐标，从而得到-5＜-8+m＜0，然后解不等式得到m的范围；
（4）作AB的垂直平分线交x轴于E，交AB与F，如图，证明Rt△BEF∽Rt△BAO，利用相似比计算出BE=10，则E（8，0），则利用待定系数法可确定直线EF的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，然后通过判断方程$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$的根的情况确定抛物线y₁与直线EF的公共点的个数，从而可判断新抛物线y₁上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形，再写出对应的m的范围．

解答 解：（1）把A（0，-6）、B（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=-6}\\{2-2b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x-6；
因为y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8，
所以顶点D的坐标为（2，-8）；
（2）当y=0时，$\frac{1}{2}$x²-2x-6=0，解得x₁=-2，x₂=6，则C（6，0），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（0，-6），C（6，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-6}\\{6m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=x-6；
（3）抛物线y=$\frac{1}{2}$（x-2）²-8向左平移1个单位长度，再向上平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线y₁的解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m，

当x=1时，y=x-6=-5，
∵新抛物线y₁的顶点P在△ABC内，
∴-5＜-8+m＜0，
∴3＜m＜8；
（4）作AB的垂直平分线交x轴于E，交AB与F，如图，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，则BF=$\sqrt{10}$，
∵∠BEF=∠BAO，
∴Rt△BEF∽Rt△BAO，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{BF}{BO}$，即$\frac{BE}{2\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，解得BE=10，
∴E（8，0），
而F（-1，-3），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（8，0），F（-1，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{-k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线EF的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
把方程$\frac{1}{2}$（x-1）²-8+m=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$，整理得3x²-8x+6m-29=0，
△=（-8）²-4×3×（6m-29）=-72m+412，
当△=0，即-72m+412=0，解得m=$\frac{103}{18}$时，抛物线y1与直线EF只有一个公共点，此时抛物线y₁上存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；
当△＞0，即-72m+412＞0，解得m＜$\frac{103}{18}$，则m的范围为3＜m＜$\frac{103}{18}$，抛物线y₁与直线EF有两个公共点，此时抛物线y₁上存在两个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形；
当△＜0，即-72m+412＜0，解得m＞$\frac{103}{18}$时，则m的范围为$\frac{103}{18}$＜m＜8，抛物抛物线y₁与直线EF没有公共点，此时抛物线y₁上不存在一个点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和抛物线的平移变换；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；理解坐标与图形性质；会应用相似比和勾股定理进行几何计算．