Question

14．如图，在⊙O中，AB=2CD，求证：$\widehat{AB}$＞2$\widehat{CD}$．

Answer 1

分析 取$\widehat{AB}$的中点P，连结PA、PB，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由$\widehat{PA}$=$\widehat{PB}$得到PA=PB，再利用三角形三边的关系得到PA+PB＞AB，加上AB=2CD，所以2PA＞2CD，即PA＞CD，则$\widehat{PA}$＞$\widehat{CD}$，于是可判断$\widehat{AB}$＞2$\widehat{CD}$．

解答 证明：取$\widehat{AB}$的中点P，连结PA、PB，如图，
∵$\widehat{PA}$=$\widehat{PB}$，
∴PA=PB，
而PA+PB＞AB，
∵AB=2CD，
∴2PA＞2CD，即PA＞CD，
∴$\widehat{PA}$＞$\widehat{CD}$，即2$\widehat{PA}$＞2$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AB}$＞2$\widehat{CD}$．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．