Question

【题目】问题发现

如图，正方形将正方形绕点旋转，直线交于点请直接写出线段与的数量关系是 ，位置关系是 _；

拓展探究

如图，矩形将矩形绕点旋转，直线交于点中线段关系还成立吗/若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

解决问题

在的条件下，矩形绕点旋转过程中，请直接写出当点与点重合时，线段的长，

Answer 1

【答案】；中数量关系不成立，位置关系成立．，理由见解析；或

【解析】

（1）证明△ADE≌△CDG（SAS），可得AE＝CG，∠DAG＝∠DCG，再由直角三角形两个锐角互余即可证得AE⊥CG；

（2）先证明△ADE∽△CDG，利用相似三角形的性质证明即可．

（3）先通过作图找到符合题意的两种情况，第一种情况利用勾股定理求解即可；第二种情况借助相似三角形及勾股定理计算即可．

（1）；

理由如下：由题意知在正方形中，

，，

在△ADE与△CDG中，

∴△ADE≌△CDG（SAS）

∴，

∵对顶角相等，

∴

．

（2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立．即：

理由如下：

由题意知在矩形中，，

，

，

∵对顶角相等

∴

．

综上所述：

（3）

如图1，当点G、P在点A处重合时，连接AE，

则此时∠ADE＝∠GDE＝90°

∴在Rt△ADE中，AE＝ ，

如图1，当点G、P重合时， 则点A、E、G在同一直线上，

∵AD＝DG＝4，

∴∠DAG＝∠DGA，

∵∠ADC＝∠AGP＝90°，∠AOD＝∠COG，

∴∠DAG＝∠COG，

∴∠DGA＝∠COG，

又∵∠GDO＝∠CDG，

∴△GDO∽△CDG，

∴

∴

∴DO＝2，CG＝2OG，

∴OC＝DC－DO＝8－2＝6，

∵在Rt△COG中，OG2＋GC2＝OC2，

∴OG2＋（2OG）2＝62，

∴OG＝（舍负），

∴CG＝，

由（2）得：

∴AE＝，

综上所述，AE的长为或．