题目内容
【题目】已知抛物线
与直线
有两个不同的交点．下列结论：①
；②当
时，
有最小值
；③方程
有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则
；其中正确的结论的个数是（ ）
A.4B.3C.2D.1
【答案】B
【解析】
根据“抛物线
与直线
有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④．
解：∵抛物线与直线有两个不同的交点，
∴
有两个不相等的实数根，即
有两个不相等的实数根，故③正确，
∴
，解得：
，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上，
∴当x=1时，
为最小值，故②正确；
若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，
则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半，
∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c，
∴两交点的横坐标分别为1-（4-c）=c-3与1+（4-c）=5-c
∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），
将（c-3,2）代入中得：
解得：
或
∵，
∴，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：B．
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