Question

3．如图，等边△ABC中，BC=6，D、E分别在BC、AC上，且DE∥AC，MN是△BDE的中位线．将线段DE从BD=2处开始向AC平移，当点D与点C重合时停止运动，则在运动过程中线段MN所扫过的区域面积为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 因为MN是三角形EMN的中位线，所以MN∥BD，所以在运动过程中线段MN所扫过的区域为梯形，然后分别求得梯形的上底、下底和高，然后利用公式计算即可．

解答 解：在运动过程中线段MN所扫过的区域面积如图阴影所示：

∵MN是△BDE的中位线．
∴MN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×2$=1，且MN∥BD．
同理：M′N′=3，且M′N′∥BD
∴四边形MNN′M′为梯形．
MG=MB•sin30°=1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
N′F=N′C•sin30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
∴梯形MNN′M′的高=$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴梯形MNN′M′的面积=$\frac{1}{2}（MN+M′N′）$（FN-MG）
=$\frac{1}{2}$×$4×\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查轨迹的问题，由三角形中位线的性质判断出MN扫过的区域的形状是解题的关键．