Question

12．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），直线l：y=-2x+b经过点A交x轴于点G．
（1）直接填空：b=3；
（2）直线l上有一个动点P．
①试探究|PB-PC|的最大值，并说明理由；
②若点P的横坐标为a（0＜a≤4），且△ACP的面积为S，试求S与a的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），得出A点坐标，再把A点坐标代入y=-2x+b求解即可，
（2）①利用三角形三边关系可得|PB-PC|＜BC，只有当点B、C、P在同一直线上时|PB-PC|的最大值，
②先利用勾股定理求出AP的长，过点C作CD⊥AG于点D，再求出OG，CG利用三角函数值得出CD的值，再运用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∵矩形OABC在平面直角坐标系中，点B的坐标为（4，3），
∴A（0，3），
∵y=-2x+b经过点A，
∴把A（0，3）代入y=-2x+b得b=3，
故答案为：3．
（2）①如图1，连接BP，

由三角形三边关系可得|PB-PC|＜BC，
延长BC交AG于点P′，只有当P运动到点P′时，|PB-PC|=BC=3，
所以|PB-PC|的最大值为4．
②∵点P的横坐标为a，l的解析式为y=-2x+3，
∴P（a，-2a+3）．
∴AP=$\sqrt{{a}^{2}+[3-（-2a+3）]^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
如图2，过点C作CD⊥AG于点D，

∵y=-2x+3交x轴于点G．
∴G（$\frac{3}{2}$，0），
∴OG=$\frac{3}{2}$，CG=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，AG=$\sqrt{A{O}^{2}+O{G}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴sin∠AGO=$\frac{AO}{AG}$=$\frac{3}{\frac{3\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin∠CGD=$\frac{CD}{CG}$=$\frac{CD}{\frac{5}{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$a×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$a．

点评 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及一次函数的解析式，最值及三角函数问题上，解题的关键是灵活作出辅助线，正确的求出三角形的高与底．