Question

15．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，$\sqrt{3}$）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求证：点C在以AB为直径的圆上；
（3）以BC为直径作⊙P，点D为抛物线上一动点，是否存在点D使直线OD与⊙P相切？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得AC、BC、AB，可证明△ABC为直角三角形，可证得结论；
（3）由条件可先求得P点坐标，连接OD，由切线的性质可得到∠POB=∠AOD，过P作PE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，设出D点坐标，根据tan∠BOP=tan∠ODF，再结合D点在抛物线上，可求得D点坐标．

解答 （1）解：∵抛物线经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，$\sqrt{3}$）三点，
∴把三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
∴抛物线解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$；
（2）证明：∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，BO=3，OC=$\sqrt{3}$，
∴AB=4，
在Rt△AOB中，可求得AC=2，在Rt△BOC中可求得BC=2$\sqrt{3}$，
∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，
∴∠ACB=90°，
∵AB为直径，
∴点C在以AB为直径的圆上；
（3）解：存在．理由如下：
∵B（3，0），C（0，$\sqrt{3}$）
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设直线OP解析式为y=kx，代入$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$k，解k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线OP的y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴OD为⊙P的切线，
∴OD⊥OP，
∴直线OD的解析式为y=-$\sqrt{3}$x，
联立直线OD和抛物线解析式$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}}\\{y=-\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{111}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}}\\{y=-\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{111}}{\;}}\end{array}\right.$，
∴D点坐标为（$\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{111}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{111}}{2}$），
综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（$\frac{5+\sqrt{37}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}+\sqrt{111}}{2}$）或（$\frac{5-\sqrt{37}}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}-\sqrt{111}}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及其逆定理、圆周角定理、切线的性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）中证得∠ACB为直角是解题的关键，在（3）中求得直线OD的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．