Question

17．观察下列各式：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1…
根据以上各式的规律解答下列问题：
（1）（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=-1+x⁵（直接写出结果）；
（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）═xⁿ⁺¹-1（用含n的代数式表示，n为正整数）；
（3）请直接利用（2）中得出的结论计算：1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵（要求书写过程）
（4）3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵=$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）根据3个所给的算式，每个算式的结果中x的次数等于两个因式中x的次数的和，写出（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）的计算结果即可．
（2）根据3个所给的算式，每个算式的结果中x的次数等于两个因式中x的次数的和，写出（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）的计算结果即可．
（3）根据1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵），求出算式的值是多少即可．
（4）利用（2）的结论，求出（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵）的值，即可求出3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵的计算结果是多少．

解答 解：（1）（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=-1+x⁵．

（2）（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）═xⁿ⁺¹-1．

（3）1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵
=（2-1）（1+2+2²+2³+…+2⁶⁴+2⁶⁵）
=2⁶⁵⁺¹-1
=2⁶⁶-1

（4）3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵
=（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵）×$\frac{1}{2}$-1
=（3²⁰¹⁵⁺¹-1）×$\frac{1}{2}$-1
=$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$
故答案为：1+x⁵；xⁿ⁺¹-1；$\frac{{3}^{2016}-3}{2}$．

点评 此题主要考查了整式的混合运算，要熟练掌握，注意根据所给的算式总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题．