Question

15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD=12，BD=9，AC=20，求证：∠BAC=90°．

Answer 1

分析 直角△ACD中首先利用勾股定理求得CD的长，则可以证明△ABD∽△CAD，然后根据相似三角形的对应角相等以及直角三角形的两锐角互余可以证明∠B+∠C=90°，然后利用三角形内角和定理证得．

解答 证明：在直角△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∵$\frac{12}{9}$=$\frac{16}{12}$，即$\frac{AD}{BD}$=$\frac{DC}{AD}$，
又∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠B=∠DAC，∠C=∠BAD，
又∵直角△ABD中，∠B+∠BAD=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，和直角三角形的两锐角互余，正确证明△ABD∽△CAD是关键．