Question

11．如图，已知等腰直角三角形的腰长为1，按图1的方法剪取一个正方形，成为第一次剪取，记所得正方形面积为s₁；按照图1的剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取两个全等的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积之和为s₂（如图2）；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪去正方形，得到四个全等的正方形，成为第3次剪取，并记这四个正方形面积之和为S₃（如图3）；继续剪取下去…；则第n此剪取时，S_n=（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• C． $\frac{1}{{2}^{n+1}}$
• D． 1-$\frac{1}{{2}^{n}}$

Answer 1

分析 根据题意，可求得S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=$\frac{1}{4}$，同理可得规律：S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案

解答 解：∵四边形ECFD是正方形，
∴DE=EC=CF=DF，∠AED=∠DFB=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴AE=DE=EC=DF=BF=CF，
∵AC=BC=1，
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$，
∴S_△AED+S_△DBF=S_{正方形ECFD}=S₁=$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$；
同理：S₂即是第二次剪取后剩余三角形面积和，
S_n即是第n次剪取后剩余三角形面积和，
∴第一次剪取后剩余三角形面积和为：$\frac{1}{2}$×1×1-S₁=$\frac{1}{4}$=S₁，
第二次剪取后剩余三角形面积和为：S₁-S₂=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{8}$=S₂，
第三次剪取后剩余三角形面积和为：S₂-S₃=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{16}$=S₃，
…
第n次剪取后剩余三角形面积和为：S_n-1-S_n=S_n=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
故选C．

点评 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质和学生数学方法--从特殊到一般的运用，并要求灵活运用正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等，难易程度适中．