Question

13．已知：x+y+z≠0，a=$\frac{x}{y+z}$，b=$\frac{y}{x+z}$，c=$\frac{z}{x+y}$，求$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$的值．

Answer 1

分析 先由a=$\frac{x}{y+z}$，b=$\frac{y}{x+z}$，c=$\frac{z}{x+y}$得xx=ay+az①，y=bx+bz②，z=cx+cy③，三式相加得出x+y+z=（b+c）x+（a+c）y+（a+b）z，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{b+c=1}\\{a+c=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a=b=c=$\frac{1}{2}$，再把a、b、c的值都代入所求式子计算即可．

解答 解：∵a=$\frac{x}{y+z}$，b=$\frac{y}{x+z}$，c=$\frac{z}{x+y}$，
∴x=ay+az①，y=bx+bz②，z=cx+cy③，
①+②+③得，x+y+z=（b+c）x+（a+c）y+（a+b）z，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+c=1}\\{a+c=1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得a=b=c=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{a+1}$+$\frac{b}{b+1}$+$\frac{c}{c+1}$=3×$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}$=1．

点评 本题考查了分式的化简求值．解题的关键是得出x+y+z=（b+c）x+（a+c）y+（a+b）z，求得a=b=c=$\frac{1}{2}$．