Question

如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DF⊥AB于点F，E为AC上一点，且AE=DE．
（1）求证：DF⊥DE；
（2）若∠ABC+∠AED=180°，求证：AB+AE=2AF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）易证∠BAD=∠CAD和∠CAD=∠ADE，可得∠BAD=∠ADE，即可证明DE∥AB，即可解题；
（2）过D作DG⊥AC，可证∠ABC=∠DEG，AF=AG，即可证明△DFB≌△DGE，可得BF=EG，即可解题．

解答：证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE=DE，∴∠CAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADE，
∴DE∥AB，
∵DF⊥AB，
∴DF⊥DE；
（2）过D作DG⊥AC，

∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴DF=DG，∠DFB=∠DGE=90°，
∴AF=AG，
∵∠ABC+∠AED=180°，∠DEG+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠DEG，
∵在△DFB和△DGE中，

∠DEG=∠DGE ∠ABC=∠DEG DF=DG

，
∴△DFB≌△DGE，（AAS）
∴BF=EG，
∴AB+AE=AF+BF+AE=AF+EG+AE=AF+AG=2AF．
即AB+AE=2AF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DFB≌△DGE是解题的关键．