Question

4．如图，已知二次函数y=（x+2）²的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，求四边形OACB的面积；
（3）是否存在点P，使以P，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知二次函数y=（x+2）²的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直接令x=0，和y=0求解即可；
（2）由过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，确定出点C的坐标，求出BC，OA，OB，即可求出梯形的面积；
（3）分两种情况计算：①BC为边时，有BC=AP=4，且点P必在x轴上，设P（m，0），建立方程求解，②BC为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P（x，y）由中点坐标公式建立方程求解．

解答 解：（1）∵二次函数y=（x+2）²的图象与x轴交于点A，
∴令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4）
∵二次函数y=（x+2）²的图象与y轴交于点B，
令y=0，
∴（x+2）²=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0）
（2）∵过点B平行x轴的直线交抛物线于点C，
∴4=（x+2）²
∴x₁=0，x₂=-4，
∴C（-4，4），
∴BC=4，OB=4，OA=2，
∴S_{四边形OACB}=$\frac{1}{2}$（OA+BC）×OB
=$\frac{1}{2}$×6×4
=12；
（3）①BC为边时，有BC=AP=4，且点P必在x轴上，设P（m，0），
∴AP=|m+2|，
∴|m+2|=4，
∴m₁=2，m₂=-6，
∴P₁（2，0），P₂（-6，0），
②BC为对角线时，对角线PA和BC互相平分，设P（x，y）
根据中点坐标公式得，-2+x=-2×2，0+y=4×2，
∴x=-2，y=8，
∴P₃（-2，8）．
即：满足条件的P点有三个，P₁（2，0），P₂（-6，0），P₃（-2，8）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了特殊点的坐标的确定，梯形的面积公式，平行四边形的性质，解本题的关键是分情况解决问题的思想．